선형대수학

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개요

{{{+1 線型代數學 / Linear Algebra}}}

덧셈과 상수곱 구조를 갖고 있는 벡터공간(vector space)과 그 위에서 정의되고 벡터공간의 연산 구조를 보존하는 함수인 선형사상(linear map)[* 쉽게 말하면, 1차함수 같은 것]에 관한 학문.

선형대수학의 벡터(vector)는 2차원이나 3차원에 그릴 수 있는 벡터뿐만이 아니라, 덧셈/뺄셈과 실수배(혹은 복소수배)가 가능한 추상적인 대상들로 정의된다. 우리가 잘 알고 있는 2차원 공간과 3차원 공간의 핵심 성질을 덧셈과 상수곱이라는 두 연산으로 기술하고, 이를 추려 추상화 및 일반화를 시도하는 것. 예를 들어 n개의 실수의 순서쌍에 성분별로 덧셈과 실수상수곱을 주면[* 즉 <math>\left(a_{1} , a_{2} , \ldots, a_{n}\right) + \left(b_{1} , b_{2} , \ldots, b_{n}\right) = \left(a_{1}+b_{1} , a_{2}+b_{2} , \ldots, a_{n}+b_{2}\right) </math>과 <math>c\left(a_{1} , a_{2} , \ldots, a_{n}\right) =\left(c a_{1} ,c a_{2} , \ldots,c a_{n}\right) </math>] 이는 "<math>n</math>차원" 벡터공간이라 할 수 있고, 이를 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 이라 한다. 벡터공간에서 벡터공간으로 가는 함수 중 덧셈과 상수배를 보존하는 함수를 선형사상이라 하는데, 그 정체는 행렬#s-2이다.[* 수학과 선형대수 첫 학기 때 배우는 가장 중요한 부분이 바로 선형사상의 집합과 행렬의 집합은 구조가 동일하며 1:1 대응이 되어 언제든 서로 바꿔쓰는게 가능하다(isomorphic)는 점이다. 소위 선형대수학의 기본 정리(Fundamental theorem of linear algebra). 이때 행렬의 곱셈은 선형사상의 합성에 대응된다.][* 역으로 말해서 "행렬의 곱셈은 왜 이렇게 이상하게 정의되었나요?" 라는 의문을 풀어주는 것이 바로 이 선형대수학의 기본정리이다. 선형함수를 알기 쉽게 나타낸 방법이 행렬이고, 행렬의 곱셈은 선형함수의 합성을 쉽게 나타내기 위해 디자인된 것뿐. 이유없이 외워온 독자들이 주객이 전도되었다고 분통을 터뜨리는 것은 당연할 것이다.]

어떻게 생각하면 선형대수학은 고교 과정인 기하와 벡터(2007 개정 교육과정)의 '행렬'과 '벡터'를 일반화시켜 어렵게 배우는 것"이라고도 볼 수도 있다.[* 사실 고교에서 나오는 벡터의 개념은 미적분에 나오는 것과 똑같다.] 벡터공간의 구조만을 본다면 그다지 복잡하지 않은 것은 사실이다.[* <math>n</math>차원 (실)벡터공간은 모두 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 과 구조가 같다. 즉 isomorphic하다.] 하지만 선형사상으로 넘어간다면 그 성질은 놀랍게 풍부해지고, 군론이나 표현론의 영역까지 들어갈 정도로 수준이 높아지면 우주의 신비를 연구하는 수준이 되어버린다. 녹록하지만은 않은 과목이다.

선형대수의 진가 중 하나는 거의 모든 수학과목의 토대가 되는 범용성이다. 미적분학에선 변수가 조금만 많아져도 선형대수학이 튀어나오고, 기하학에선 거의 모든 공간을 국소적으로 선형대수학의 <math>\mathbb{R}^{n}</math>이나 <math>\mathbb{C}^{n}</math> 으로 근사시켜 연구한다. 함수들을 벡터로[* 상식적인 덧셈과 스칼라배에 대해서] 생각한다는 사고방식은 미분방정식의 이론과 풀이의 해석으로 발전한다. 물리적 상태들을 고차원 추상적 벡터로 나타내고, 이들의 선형적 중첩을 생각하는 양자역학의 기초가 되는 것은 당연.

자연과학이 아닌 분야에서도 등장하는데, 통계에서 복합적 자료들을 다루는 데 필수로 쓰이고[* 문/이과 통틀어서 대학원에서 논문을 쓰는 데에 통계분석이 조금이라도 나온다면, 선형대수를 모르면 골치아픈 경우를 겪게 될 수 있다. 경제학과나 경영학과는 물론, 사회학과, 행정학과 등의 전공에서도 만날 가능성이 있다.], 심지어는 이산적인 대상을 다루는 암호론이나 부호 이론(coding theory)에도 매우 중요하게 쓰이는 도구이다. ~~<math>0</math>과 <math>1</math>로 이루어진 벡터공간이라니 상상이나 되는가~~ 대표적으로 비트연산을 이해할 때 계수가 <math>Z_2</math>인 다항식들의 집합으로 보는데. 해당 집합은 덧셈과 스칼라배가 잘 정의되는 벡터공간이 된다.[* 여기서 스칼라배는 실수가 아닌 <math>Z_2</math>에서 정의한다.]

이과에게

미적분학과 함께 현대 수학, 나아가 현대 과학의 혁명과 발전을 이끄는 근간

미적분학과 함께 모든 이과과목의 기초 중의 기초이자 실질적인 기반. 그나마 미적분은 컴퓨터과학 같은 분야에서는 드물게 사용되지만 선형대수만큼은 앞으로 전개할 모든 이공계열의 학문에 선형대수가 관여하지 않는 학문은 없다고 단언할 수 있다.[* 문과라고 해도 상경계열이라면 100% 만나게 된다.][* 그러나 이학계열에서는 필수로 선형대수를 수강해야 하지 않는 학과도 엄연히 많이 존재한다. 물론 세부 분과적으로는 연관된 영역이 있기 마련이지만. 이는 보통 해당 학문의 수학, 물리와 연관성에 정비례한다.] 아래 문단에도 나와있듯 선형대수가 미칠듯이 중요하다는 걸 끊임없이 강조한다. 학부 수준에서야 행렬을 다루는 수준에서 끝나지만 심화 학문으로 갈수록 대상을 선형대수에서 다루는 오브젝트로 바라보는 관점이 매우매우 중요해지는 만큼 아랫 문단들이 거듭 강조하는 선형대수의 중요성은 몇 번을 더 강조해도 부족함이 없는 수준이다. 실제 수많은 이공계열 대학원에서는 다른 분야를 잘하더라도 선형대수 지식이 모자라면 가차없이 자르는 경향이 있다. 반대로 공학지식이 부족한 수학, 물리전공인 학생들은 이공계 대학원 진학 시 선형대수를 잘한다는 이유만으로 선발되는 경우도 상당하다.

물리학과를 일례로 보면, 선형대수는 양자역학을 기술하는 수학적 툴로써의 근간이 된다. 빗대어서 말해 선형대수를 양자역학의 세계관이라고 보아도 무방할 정도이다. 자세한 설명은 아래에 후술.

마찬가지로 기하와 함께 고등학교 교과과정에서 필수로 다뤄야 할 내용임에도 끝끝내 빠지게 된 분야이기도 하다. 고등과정에서 벡터와 행렬을 배우게 될 때, 스스로 응용해서 깊게 생각해 보면 선형대수의 내용을 어느 정도 느껴볼 수 있다.

공대생들은

건축학과 같이 극히 예외를 제외하면 안 배울 수가 없다.

공대생들은 대부분 선형대수학이라는 이름의 과목을 수강한 적이 있을 것이다. 수강한 적이 없더라도, 공업수학에서 행렬을 배운다면 당신은 이미 선형대수학을 공부하고 써먹는 것이다.

공업수학의 선형대수 과정은 주로 행렬에 초점이 맞추어져 있다.[* 어차피 기본정리로 인해 유한차원에서는 행렬만 배워도 충분하다.] 기저(basis)의 개념, 행렬의 계수(rank)/열공간(column space)/영공간(null space), 연립방정식의 풀이, 행렬식(determinant), 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)까지는 공통된 내용이지만, 여러 decomposition[* LU decomposition, cholesky decomposition, schur decomposition, singular value decomposition 등]과 Jordan normal form의 실제 계산 등은 수학과에서는[* 수치해석을 제외하면] 잘 가르치지 않는 부분이다.[* 수학과에서는 주로 벡터공간과 선형사상에 대한 이해가 목표이기에 수치적인 방법은 잘 배우지 않는 편이다.] 주로 행렬을 간단히 나타내고 쉽게 계산하는 방법에 초점을 맞추게 된다.

개념적인 부분은 주로 basis에 치중되어 있으므로 만약 증명을 처음부터 끝까지 이해하고 활용할 게 아니라면 오로지 계산이 어떻게 되는지만 알아도 무방하게 느껴질 과목이다. 당장 그렇게 사용할 수 있으니까.[* 하지만 개념적인 부분도 무시해서는 안 될 게, 특히 푸리에 해석에서 직교기저(Orthogonal basis)와 내적(inner product)에 대해 눈꼽만큼이라도 이해를 하고 있다면, 정말 비교가 안 되게 쉬워진다.] 그렇지만 (모든 수학 과목이 그렇듯이) 기본적인 개념이 잘 확립되지 않으면 '난 이 작업을 손으로도 할 수 있어. 컴퓨터가 훨씬 빠르게 할 수 있지만...' 정도로 요약이 된다.

하지만 이 과목의 중요성은 모든 공대 과목의 계산이 앞으로 행렬로 이루어진다는 데에 있다. 변수가 2개 이상인 형태의 식 중에 행렬이 안 들어가는 계산이 있다면 그건 고등학교 수학이라고 봐도 무방할 정도로. 당장 당신이 미분방정식을 풀어야 하는데 함숫값이 2개 이상의 성분을 갖는 벡터에 해당하는 ODE[* 공대생이라면 론스키안 정도는 들어봤을 것이다.]다. 어떻게 풀까?

한편, 선형대수학 지식은 수치해석을 듣는 데 크게 도움이 된다! --공대생들의 친구-- MATLAB이 당장 행렬 위에서 돌아가며, 변수가 수두룩하게 많은 문제들을 풀 때 특히나 필요하게 된다. Gauss-Seidel method라든지 Hessian, 유한요소해석 같은 녀석들도 전부 행렬로 돌아간다. 즉 뭐를 하든지 간에 선형대수학은 공대생들에게 필수인 것이다.

컴퓨터공학과의 경우 몇몇 분야는 선형대수를 배우지 않아도 전문가가 될 수 있다. 하지만 GPGPU(그래픽카드를 이용한 연산)와 행렬 응용 분야의 꽃인 컴퓨터 그래픽스에서는 반드시 필요하다. 절대 다수가 3D CG로 만들어지는 오늘날의 게임과 애니메이션에서는 필수 지식이라고 할 수 있다.

대부분 공업수학교재가 미분방정식을 먼저 다루고 선형대수로 넘어가는데 사실 미분방정식에도 선형대수가 필요한지라 교수의 역량에 따라 선형대수를 먼저 다룬 뒤 미분방정식을 다루는 경우도 있다. 사실 공업수학 전체가 complex analysis와 Nonlinear differential equation을 제외하면 전부 선형대수를 필요로 한다.

수학과/수학교육과 학생들은

모르면 아무 것도 못 한다. 거짓말이 아니라 앞으로 배울 고급수학에서 선형대수가 관여하지 않는 과목이 손에 꼽을 정도.[* 실제 수많은 이공계열 대학원에서 지원자의 선형대수 지식은 필히 물어본다. 그만큼 중요하다는 뜻.] 해석학과 함께 처음으로 배우는 진짜 수학.[* 여기서 '진짜'라는 의미는 직관적인 수준을 넘어, 엄밀한 논리의 영역으로 들어선다는 의미이다. 물론 엄밀함의 기준은 집합론이지만 대부분의 수학분야의 목적이 엄밀함 그 자체에 있는 것은 아니기 때문에 학부 때는 ordinal number와 cardinal number의 기본 성질에 대해 살짝 훑는 것, 집합론의 공리적 방법을 소개받는 것 정도만 배운다.] 고교 때까지는 어려워봤자 계산이 복잡했을 뿐이며 어디까지나 그 대상은 직관적인 수와 도형 정도로 한정되었지만, 선형대수학부터는 벡터가 더 이상 당신이 직관적으로 상상하는 고전물리학의 그 벡터가 아니게 된다. 선형대수학에서 벡터공간이란, 단순히 그 정의를 만족하는 모든 오브젝트가 될 수 있으며, 벡터는 그 벡터공간의 원소일 뿐이다. 모든 <math>R \to R</math>함수의 집합에도 역시 연산자를 정의하여(보통 componentwise[* 성분별로]) 벡터공간으로 만들 수 있고, 이렇게 되면 각각의 <math>f:R\to R</math> 함수가 해당 벡터공간의 벡터가 된다. 그리고, 이 벡터공간에서 연속함수만을 추출하여 부분벡터공간을 그 안에 만들 수도 있고, 거기서 다시 미분가능한 함수를 추려내서 연속함수공간의 부분공간을 만들 수도 있다. 즉, 수학과 커리큘럼 중 고교수학적 직관과 현대수학적 논리가 격하게 충돌하는 첫 번째 과목이고, 추상적 개념과 엄밀한 증명의 사용을 연습하는 장이 된다. 어떤 과목을 배워도 밑바닥에 깔고 시작하는 기본과목이라는 점에서도 해석학과 똑같다.[* 다만 주로 해석학 계열 과목에서만 나타나는 해석개론과는 달리, 선형대수는 호몰로지/가환/비가환대수, 표현론, 대수적 정수론 등의 대수학 테크와 상/편미분방정식, 동역학계, 작용소 대수, 광역/조화/복소/함수해석 등의 해석학 테크, 대수/미분/비가환 기하, 대수/미분위상 등의 기하학 테크에서 모두 필요하다는 것이 차이점.--없는걸 세는게 더 빠르다.--]

수학과의 선형대수 과정은 추상적인 대수적 개념들과 선형함수를 먼저 배운 후에[* 행렬에서 사용하는 열공간(column space), 영공간(null space) 등의 말이 선형사상의 핵(kernel), 사상(image) 이런 식으로 둔갑하게 된다.], 한참 나중에 학생들에게 친숙한 개념인 행렬과의 연결고리를 보여주는 방식을 취하는 경우도 많다.[* 덕분에 행렬이 등장하기 전까지 어두컴컴한 추상의 세계에서 헤메다가 행렬이 등장하는 시점에 가서야 지금까지 배웠던 게 무엇인지 깨닫는 경우가 많다. 일부러 극적 효과를 노리고 이런 방식을 선호하는 ~~변태~~교수들도 있다. --심지어 공대에서 수학과 스타일의 진도를 빼면서 행렬을 학기 후반부에 도입하는 이상한 교수도 있다.-- 이런 식으로 행렬의 도입을 늦추는 교수를 만날 경우, 입-델로 유명한 해석학에 비해 오히려 난해하게 느끼는 학생도 많다.--선형사상은 행렬곱이야! 를 깨닫는 순간의 수강생들이 느끼는 허탈감이란...-- --진심 나라 잃은 표정--] 공학수학 쪽에서 다루지 않는 개념으로 dual space와 bilinear form, invariant space 등이 있지만, 기본 커리큘럼 이후에는 교수의 재량에 따라서 얼마든지 '이상한 진도'를 뺄 수도 있다. 실제로, 선형대수는 차후 배우는 거의 모든 수학 분야에서 베이스로 깔고 들어가기 때문에 맘만 먹으면 얼마든지 고급 예시나 개념을 끌고 들어와 학생들을 멘붕시킬 수 있는 강력한 과목이다. 이런 경우, 전반적으로 계산보다는 대수적 개념이해에 치중하는 것이 특징. 수학과 학생한테 계산문제 풀어달라고 하지 말자. 계산은 공대 쪽이 더 빠삭한 경우가 많다.

입문 과목으로서의 선형대수학은 본격적인 대수학의 시작으로서 매우 중요하다. 대수학에서 배우는 군(group), 환(ring), 체(field) 등의 '대수적 구조'들 중 대부분은, 보통 벡터공간에서 성립하는 많은 성질들을 변형된 형태로 가지고 있다. 이는 대수적 구조 중 가장 쉬운 성질을 갖고 있는 것이 벡터공간이기 때문이다. 대수학을 공부한다면 선형대수의 증명 테크닉은 끝없이 반복되어 나타날 것이다.[* 군의 준동형사상(homomorphism)과 선형사상(linear map), 부분군(subgroup)과 부분공간(subspace)의 유사성 등을 예로 들 수 있을 것이다.]

하지만 테크닉보다도 중요한 것은, 대수학의 사고방식을 체득하는 것이다.[* 현대대수학을 통해서도 체득할 수 있지만 현대대수에서는 구조의 추상성 때문에 벡터공간보다 난해해하는 학생들이 많다.] 대다수의 대수적 구조들은 "구조가 주어진 집합"와 "구조를 보존하는 함수"의 쌍으로 정의된다.[* 벡터공간과 선형사상, 군과 준동형사상, 위상(topology)과 연속함수 등으로.][* 사실은 대수적 구조뿐 아니라 대다수의 수학적 구조도 이러한 구성을 따른다. 대표적으로, '위상공간'과 '연속함수'.] 많은 경우에 이들을 다루는 방법은 놀랄 만큼 비슷하다. 특히 사상과 관련해서 선형사상에 적용된 kernel과 image, isomorphism 등의 주제는 모든 대수적 구조에 대해 일반화되는 개념이고, 이들을 이해하는 것은 학부 대수학의 목표 중 하나이다. 그리고, 거의 모든 수학분야에 공통적으로 퍼져있는 이런 양상은 Category theory로 귀결된다. 실제로, dual space를 설명하기 위해 Category와 Functor 개념을 도입하는 교수도 있다.

보통의 수학과 학생들의 선형대수학은 여기서 끝이지만, 선형대수학이 여기서 완전히 끝나는 것은 아니다. 행렬의(혹은 선형사상의) 군과 그 공간에의 작용을 탐구한다고 볼 수 있는 표현론(representation theory)은 현대수학 전반에 자리잡고 있는 테마 중 하나. 사람에 따라서는 수학에서도 선형대수학이 알파이자 오메가라 해도, 아예 틀리는 말은 아닐 것이다.

물리학과/물리교육과의 경우

무조건 제대로 해놓자. 안 그러면 망했어요. 관성 텐서의 대각화나 정상 상태의 모드를 구할 때, 라플라스 방정식의 일반해를 구할 때 등 여러 군데에서 필수요소로 들어가지만, 뭐니뭐니해도 진짜 중요한 문제는 다름 아닌 양자역학이다.

양자역학에서는 '연산자'라는 개념이 중요한데, 쉽게 생각해서 연산자란 어떤 상태함수에 대하여 측정값을 내놓는 것을 말한다. 예를 들어 다음과 같은 식 <math>\hat{A}\psi=a\psi</math>에서, <math>\hat{A}</math>는 연산자, <math>\psi</math>는 상태함수, <math>a</math>는 측정값을 의미한다. 유심히 살펴보면, 선형대수의 고유값 문제의 모양임을 알 수 있다! 이 상태함수들은 고유함수에 해당하고 이 함수들의 선형 결합으로 실제 시스템을 묘사하게 된다. 또한 이 연산자에 대한 기댓값(평균)을 구하고자 한다면,

<math>\left \langle A \right \rangle=\int \psi^{*}\hat{A}\psi dx</math> 혹은 같은 말로 <math>\left \langle A \right \rangle=\left \langle \psi|\hat{A} \psi \right \rangle</math>와 같이 계산할 수 있는데, 이는 내적공간(inner product space)에서 정의된 내적의 성질과 일맥상통한다. 이때 우변의 <math>\left \langle | \right \rangle</math> 같은 기호는 디락 표기법으로, 특별히 양자역학에서 벡터를 나타내기 위한 독특한 표기법이다. 이러한 내용들은 이제 시작일 뿐으로, 앞으로 양자역학을 공부하면서 Hermitian operator라든지 Hilbert space라든지 Commutator와 같은 흉악한(?) 것들과 신물나게 마주할 수 있으며, 앞서말한 dual space나 spectral decomposition 같은 수학과에서 배우는 '이상한 진도'가 갑자기 튀어나오는 진귀한 광경도 볼 수 있다. 나중에 가면 한술 더 떠서 위의 연산자를 진짜로 행렬로 나타내는 법을 배운다. 아니, 애초에 하이젠베르크가 양자역학을 처음 내놓을 때 이름이 행렬 역학이었으니 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.

양자역학이 현대물리학의 심장인 동시에 선형대수학이 양자역학의 심장이 되므로 당신이 물리학도라면 정말로 제대로 해놓자. --eigenvalue eigenvector eigenfunction eigensolution eigenstate eigenfrequency 뭐만하면 eigen을 붙이는 만병통치약-- --eigenwiki--

생명과학과에게

대개의 경우 안 배우고 졸업한다.

하지만 유전학을 공부하면서 통계적 방법을 사용한다면 이 과정에서 선형대수가 튀어나오는 건 다반사. 뿐만 아니라 유전학의 가장 기본적인 개념인 푸네트 스퀘어는 아예 행렬로 순차적으로 알고리즘화도 가능할 지경. 가장 간단한 예를 들자면 포식동물 A와 초식동물 B 간의 장기간에 걸친 개체수 변화 및 비율 고정을 예측할 수 있다.

그리고 생명공학 쪽 전공이라면 화학공학적 지식이 많이 필요할 것이므로 반드시 알아두어야 한다. 생물교육과의 경우 물/화/지 공통과학교육과정을 이수해야 되기 때문에 선형대수는 꼭 배워야 된다.[* 예를 들어 서울대의 경우 생명과학부는 응용위주인 생명수학을 따로 배우나, 생물교육과는 타 과학교육과와 똑같이 미적분학을 통째로 배운다.]

기타

* 통계학과 : 필수적.

문과에게

* 경제학과인데 대학원을 진학할 예정인 경우 : 학부 시절 무조건 공부해놔야 한다. 대학원 수준 미시경제학에서 필수적인 선수과목이 선형대수학과 해석학이다. ~~불행하게도~~ 유학갈 생각이라면 이 둘은 A를 사수해야 하는 과목이며 이 둘 이후로도 통계학과 및 수학과 강의를 훨씬 심화해서 듣게 된다. 산 너머 산(...). 그래도 긍정적으로 생각하자. 고급 수학 지식을 알면 연구 가능 분야가 상당히 넓어진다!   
* 경제학과이지만 학부까지만 졸업할 예정인 경우 : 듣지 않아도 무방하다. 최소한의 선형대수 기반 지식은 필수이지만, 그 '최소한'에 대해서는 경제수학이라는 과목을 열어서 문과 수학만 떼고 오면 한 학기 안에 충분히 가르쳐 준다. 더 알고 싶다고 해도 후수과목인 수리경제학 선에서 가르쳐준다. [* 개개인의 선택에 따라 더 깊이 있게 알기 위해서 그 뒤에 정식으로 선형대수학 과목을 수강하는 경우도 있다.] 
* 박사과정에 진학할 건데 자기 전공분야에서 통계학과 수치해석을 심도있게 이용해야 하는 경우 : 각종 decomposition이며 quadratic form에 관한 내용은 공부 좀 하다 보면 --좀 과장하면--밥 먹듯이 나온다. 단순히 축약형태의 회귀분석 돌리는 거 이상의 복잡한 모델로 연구할 경우 논문 쓸 때 코딩을 위해 수치해석을 공부해야 하는데 이때도 필수이다. 지금까지는 사회과학에서는 경제학 경영학 논문 위주로 쓰였지만 요새 사회과학이 전반적으로 계량적 방법론을 강조하는 추세라, 연구자가 목표이면 비상경계열도 난 안 할거야 하고 안심할 수는 없다.--수학 못해서 문과 간 사람들은 헬게이트가 열림-- 그런데 정작 경제학은 행동경제학이 대세라서 수학보다 사회과학 쪽이 다시 강조되는 트렌드라고 한다. [* 행동경제학도 결국 수학적으로 행동을 보다 정밀하게 예측하면서 계량적으로 측정해보려는 노력이 들어가므로 결국 수학/통계는 필수다.]
* 수리사회학을 대학원에서 전공할 사회학과 학생 : 선형대수학은 전공기초과목이므로 모르면 아무것도 할 수 없다.
* 문과 대학원에 진학할 예정이지만 자기 전공분야에서 통계학을 쓰지 않는 경우 : 평생 모르고 살아도 직장을 충분히 잡을 수 있다. 예를 들어서 법학전문대학원이라든가 통번역대학원이라든가...
* 어문계열 대학원의 전산언어학 관련 분야 (음성학, 음운론, 코퍼스, 통사론, 의미론 등등): 세부적으로 뭘 하느냐에 따라 달라지지만, 프로그래밍의 경우 최소한 공학수학 수준은 반드시 익혀놔야 한다.

선형대수학의 주제들

어느 선형대수 과정에나 기본적으로 들어가는 주제들.

벡터 공간(Vector Space)

자세한 내용은 항목 참조

기타 주제들

* 행렬: 행공간/영공간/계수, rank-nullity theorem, 추상적 선형함수(linear map)와의 동치성
* 연립일차방정식의 풀이: 가우스-조르당 소거법(Gauss-Jordan elimination), 기약행 사다리꼴 형식(reduced row echelon form)
* 행렬식(determinant), 크라메르 공식, 소행렬식(minor)과 수반행렬(adjugate matrix)[* 책에 따라서 adjoint matrix라고 쓰는 경우도 있다. 그런데 켤레 전치행렬(conjugate transpose) 또한 adjoint matrix라는 용어를 사용하기 때문에 혼동을 막기 위해 전자를 지칭할 때는 classical adjoint라는 용어를 쓰기도 한다.]
* 고유벡터와 고유값, 특성다항식(characteristic polynomial), 케일리-해밀턴 정리(Cayley-Hamilton Theorem)[* 고교과정에서 배웠던 그 2*2 행렬 정리는 이 정리의 아주아주 특수한 경우에 해당한다! 자세한 것은 항목 참고.]
* 내적공간(inner product space), Gram-Schmidt 직교화 알고리즘, 직교행렬(orthogonal matrix)

공학수학 또는 수치해석 과정에 들어갈 수 있는 내용. 

* 삼각화(triangulization), 행렬의 여러 분해방법[* LU factorization, cholesky decomposition, schur decomposition, singular value decomposition 등], Jordan normal form의 계산
* 행렬 미적분학(matrix calculus)[* 벡터나 행렬에 '대한' 미분을 다루는 괴상한 내용. 해세행렬 등이 중요한 개념이다.]
* 선형미분방정식, 마르코프 연쇄(Markov Chain) 등으로의 응용

주로 수학과에서 앞에 말한 '이상한 진도'를 뺄 때 나오는 내용들. 

* 벡터공간: 상공간(quotient space)과 동형정리(isomorphism theorem)[* 군(대수학) 문서 참조.], 직합(direct sum)
* 작용소의 분석: 불변 부분공간(invariant subspace), 분해정리(decomposition theorems), rational canonical form과 Jordan normal form의 존재성
* Multilinear algebra: 텐서곱(tensor product), symmetric and alternating algebra, dual space 와 bilinear form
* 정규행렬(normal matrix)의 스펙트럼 정리(spectral theorem), 대칭행렬과 직교행렬로의 응용
* 이차형식(quadratic form), 선형군(linear group), 직교기하와 심플렉틱 기하 등

교재

* Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, Brooks
현직 MIT 교수인 Gilbert Strang이 쓴 교재. 주로 수학과가 아닌 타과생들에게 초점이 맞춰진 책으로, 기본적인 선형대수학적 개념과 더불어 수치적인 방법, 선형계획 및 게임 이론 등을 소개하고 있다.--Strang만의 용어가 몇 개 있다.-- 공대에서 많이 쓰는 책 답게 추상적인 정리나 대부분의 증명을 생략하고 행렬 위주로 직관적으로 이해하도록 되어 있어 쉽게 읽을 수 있고, 응용에 최적화 된 책이다. 선형대수학을 더 엄밀하게 공부하고 싶다면 아래 책들을 같이 보는게 도움이 된다. MIT에서 Gilbert Strang 본인이 이 책을 갖고 한 강의를 무료로 공개하고 있으니 참고하는 것도 좋다.[[1]] 참고로 국내에 유일하게 번역서가 하나 출판되어 있는데, 부탁이다 제발 읽지마라. 돈 낭비다. 일반적으로 대학 수준의 이공계 전문 번역서는 여러 유수의 대학을 나온 교수진들 여럿이 모여 번역해서 출판하는데 이 책은 왠 이름 모를 교수 한 명이 혼자서 다 번역해 출판했다. 번역 수준은 그야말로 '개판'이다. 컴퓨터(computer)를 '셈틀'로 번역하고 한국말이 아니라 이건 뭐 북한말로 써놓은 정체불명의 괴상한 책. 따라서 이 책은 그냥 영어원서로 읽는게 정신건강에 좋을 것이다. 한국말로 번역되어 있는 선형대수학 번역서는 하워드 안톤이 집필한 표지로 맨드릴 원숭이 그림이 그려진 'Contemporary Linear Algebra'가 '최신선형대수'라는 이름으로 교보문고에서 팔고 있으니 이 책을 추천한다.

* S. Friedberg 외 2명, Linear Algebra, Pearson
Friedberg, Insel and Spence 3명이 쓴 선형대수학 책으로, 2015년 9월 현재 5판까지 나와있다. 그러나 5판의 경우 4판의 뒷 부분 내용(Rational Canonical Form, Singular Value Decomposition 등)이 빠져있거나 축약되어 있기 때문에 4판 pdf 파일을 여전히 쓰는 경우도 많다. 상당히 친절하고 초보자도 보기 좋아서 수학과가 아닌 공대에서도 사용하는 책이다. Theorem이나 Proposition들이 step by step으로 친절하게 서술되어 있는 편이며,  Definition과 Theorem을 다음에는 거의 강박적이다 싶을 만큼 친숙한 Example들을 주어서 이해를 돕는다. 군데군데 Figure도 적절히 들어가 있다. 많이 쓰이는 책이다 보니 solution도 비교적 충실하다. 그러면서도 현대대수학 교재에 들어갈만한 내용은 최대한 배제했다. 스트랭은 공대생 전용이다 보니 증명보다는 정리의 적용 및 계산에 집중했고, 아래 호프만과 이인석 교재는 초보자가 보기엔 좀 힘든 감이 있는데, 수학적 논리성을 잃지 않으면서도 진입장벽이 높지 않은 책을 찾는다면 이 책을 추천(초보자의 경우 asterisk표시가 된 optional part는 굳이 읽지 않아도 된다).

* Kenneth Myron Hoffman, Ray Kunze , Linear Algebra, Prentice Hall (2nd)
선형대수를 처음 접하는 사람에게는 추천하지 않는 책이다. 현대대수의 개념과 선형대수의 개념을 섞어서 설명하기 때문에, 선형대수의 시작은 프리드버그 책을 추천한다.[* 보통 대부분 대학 커리큘럼에서 현대대수보다 선형대수를 먼저 배우는 걸 생각하면...] --앞에 언급된 책들보다 훨씬 작으면서 내용은 훨씬 어렵다--~~Grassman Ring이라던지, Principal Ideal Domain이라던지... 현대대수로 빼도 될 내용들을 다 가져왔다~~

* 이인석, 학부 대수학 강의 1: 선형대수와 군, 서울대학교출판부
현직 서울대학교 수리과학부 이인석 교수가 쓴, 서울대학교 수리과학부 2학년 학생들을 대상으로 한 선형대수학 교재. 2005년에 초판이 나왔는데 첫 개정판은 10년이나 지난 2015년 5월에야 나왔다(...). 통년 과정으로 되어 있기 때문에 상술한 '이상한 진도' 또한 거의 다 들어가 있다.[* 책 제목(선형대수와 군)에서 짐작할 수 있듯이 현대대수의 영역인 군에 대한 이야기도 포함하고 있다.] 특이한 점이라면 이야기책을 표방하고 있으며(...), 그에 걸맞게 문체가 딱딱하지 않은 편이다.[* (전략)그래서 이 책은 딱딱하지 않은 구어체로 쓰여졌다. 저자가 강의실에서 사용하는 언어(말투, 대화, 칠판 내용, 그리고 농담들)를 그대로 옮기려고 오히려 노력하였다. {{{[학부 대수학 강의]}}}에서 우리의 현실세계에 관한 묘사는 거의 찾아볼 수 없을 것이다. 그런 의미에서 {{{[학부 대수학 강의]}}}는 가상세계에 관한 '이야기책'이다. Peter Pan이나 Harry Potter 같은 이야기책이다.(후략) (해당 책 머리말에서 발췌)] 곳곳에 농담이나 ㅋㅋ, ㅎㅎ 같은 초성체가 들어간 것도 특징.[* 책에 따르면 이 ㅋㅋ나 ㅎㅎ 같은 말이 나오면 뭔가 심각한 논의를 하고 있다는 뜻이니 긴장해야 한다고(...).] 제목의 '학부 대수학 강의 1'에서도 알 수 있듯이, 당연히 속편(?)격인 2권도 존재한다. 이쪽은 3학년 과목인 현대대수학 내용[* 말은 그렇지만 이미 1권에서 군의 개념을 다 떼고 올라간 관계로 책 초반부터 module, algebra의 개념부터 시작하고 들어가는 흉악한(...) 책이다. 실질적으로는 학부 대수와 대학원 대수의 중간 과정 정도.]을 다룬다. 이미 선형대수학에 익숙하고 (혹은 그냥 수학을 잘하고) 되짚기 용으로는 좋은 교재이나, 글씨 표기가 따라쓰기 힘든 점[* LaTeX의 장식체를 아주 많이 쓴다], 농담이 가끔 속터지게 하는 경우가 있는 점[* 증명은 '기계'(즉, 너희들)가 한다거나, proof 부분을 '우리의 철학' 한 마디로 때우는 것 등등], 영어/한국어/한자가 뒤섞여 가독성이 떨어진다는 점[* 사실 이것도 그저 대학 수업 현장에서 자주 쓰이는 암묵의 룰인 '용어는 영어, 수업은 국어' 의 과정을 충실히 따랐기 때문이다. 이공계 전공 수업 현장에서 외서를 사용함에도 수업은 국어로 진행하거나, 국내교재를 쓰면서도 용어는 영어를 사용하는 경우는 흔하다. 이 교재도 마찬가지로 영어가 쓰이는 곳은 수학에 필요한 전문용어 뿐이고 종종 별 의미없는 위치에 쓰이는 한자 몇 글자를 제외하면 수업에서 흔히 쓰이는 문체를 그대로 옮겨 적었기에 나온 문제일 뿐이다.] 등으로 인해 호불호가 갈리는 편이다.--애초에 서울대생을 대상으로 한 책이니만큼 보통 학생들을 대상으로 한 교과서 같은 자세/친절한 설명을 기대하면 안된다--[* 하지만 이야기책을 표방하는 만큼 어느정도 대수구조에 대한 이해를 충분히 하고 있는사람에게는 마법처럼 술술 읽히는 책이기도 하다. 다만 그러기 위해서는 학부수준 대수학에대한 전반적인 이해를 하고 있어야 한다는것이 문제일 뿐....--전제 자체가 틀렸잖아!--][* 다만 이것은 말 그대로 전반적인 이해일 뿐 학부수준의 모든 지식을 필요로 한다는 것은 아니다, 이 전반적인 이해란 대수학에서 다루는 연산의 구조에 대해 다루고 있기 때문에 연산구조에 대한 이해를 의미한다.--이해는커녕 달달달 외워서 시험보고 포맷하는학생이 더 많던데??-- ] 또한 2만원대의 착한 가격에 양장본 결정적으로 앞에서 말한 '이상한 진도'의 내용을 모두 다루는 굉장--히흉악--한 책이다. 이 교재 한권이면 학부수준에서 다루는 선형대수의 문제는 모두 해결할 수 있다.--이해할 수 있다면 말이지.?-- 단점이라면 행렬이 아닌 대수적 개념이해에 치중된 교재이다보니 일반적인 공업수학을 공부한 공학도들에게는 허들이 상당히 높은 편.

  참고로 서문에 쓰인 'JKR에게 감사하며'라는 말의 경우, 해리 포터 시리즈의 저자인 조앤 K. 롤링을 가리키는 것이 거의 확실하다. 몇몇 단서를 꼽자면...
 * 해당 에피소드가 한 때 스누라이프에서 화제가 된 바 있다.
 * 선형대수학 강의 시간에도 저자 본인이 직접 해리 포터를 꼭 읽으라는 말을 한 적이 있다.
 * 머리말에서 해리 포터 시리즈의 내용을 자주 언급한다.

  페이스북 [그룹]과 디시인사이드 수학 갤러리에서 칭송받는(?) 책이기도 하다. 아래는 한 수학 그룹 회원이 만든 짤방.
     파일:FB_IMG_1457328621686.jpg

* 線型代数入門 (基礎数学1) - 東京大学出版会(동경대학출판회)
출판한지 2016년으로 무려 50년이나 되었지만 일본의 대학생이나 교수들이 (주로 국공립대학) 자주 본다고 하는 일본의 대학판 수학의 정석이라고 볼 수 있다. 게다가 저자가 애초에 일본의 이공계 기술력을 발전시킨다는 목적으로 썼다는 걸 앞에서 명시했다. 실제로 이 책을 중심으로 공부한 일본의 이공계 인재들이 나중에 일본의 기술력을 미국에 이어서 세계 2위로 끌어올렸음을 생각하면... 그리고 50년 전에 썼지만 내용은 현대에 출판한 내용과 거의 다른 내용이 없고 오히려 어지간한 내용은 다 설명한다. 뒤에 부록으로 유클리드 기하학의 공리와 군론 등의 부가적인 내용도 포함하고 있다. 가격은 엔화로 2052엔. 이 책으로 공부할 때 주의할 점은 고교수학은 다 끝내고 봐야 잘 읽힌다. 만약 제대로 고교수학을 다지지 않고 바로 공부한다면 은근히 안 읽히므로 주의할 것. 한국의 2007 개정 교육과정(2016학년도 수능 수학 B형 범위) 기준으로 공부하면 충분하다. 추가로 JLPT N2 150~180점 나올정도로 일본어도 공부해야함은 당연지사. 그런데 한국의 학부생들은 9할이 영어를 주로 사용하니 아마도 이 책으로 공부할 사람은 손에 꼽을 것이다(...). 만약 영어 해석이 잘 안되거나 국내 서적이 영 시원찮은 사람들은 일본어를 공부해서 위 두 권 중 하나를 골라서 공부해보는 것도 괜찮은 선택....일지도? 

* Howard Anton, 최신 선형대수

책 표지가 원숭이라 일명 원숭이 책으로 불린다.

그 외에 여러 종류의 선형대수 책(Lay의 직소퍼즐 등등...)이 시중에 나와있다. 만일 공대생/물리과생이라면 선형대수는 매우 중요한 내용인지라 공업수학/수리물리학 교재에 잘 나와 있고, 그것만 해도 충분하기 때문에 굳이 위에 언급한 책들을 다 보지 않아도 된다.

참고 문서

* 선형대수학의 기본정리

분류:선형대수학

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