노름(수학)

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개요

Norm

수학 용어로 노음이라고 하는 경우도 있으며 대한수학회의 표준용어로는 노름이지만 대부분은 그냥 '놂'이라고 쓴다. 본 문서에서는 대한수학회의 표준용어를 따라 노름으로 표기하기로 한다. 놈으로 표기하기도 한다.

거리의 일반화가 거리함수라면 노름은 크기의 일반화라고 할 수 있다. 더 나아가 내적은 방향과 연관이 깊다. 다만 노름이 정의되면 x와 y사이의 거리함수<math>d(x,y)</math>는 <math>\left\| x-y \right\|</math>이나 <math>\left\| x \right\|</math> + <math>\left\| y \right\|</math>으로 정의할 수 있다. 다만 역으로 거리함수가 정의된다고 해서 노름이 정의될 수 있다곤 할 수 없다. 예를 들어 x = y 면 0 그 외에는 1이라는 쌈박한 함수는 거리함수 <math>d(x,y)</math>[* 이를 이산거리함수(Discrete Metric Function)라고 부른다.]가 되지만 이렇게 거리를 정의할 수 있는 벡터공간 모두에서 노름이 정의되는 건 아니다.

정의

<math>V</math>가 복소수체 <math>F</math> 위의 벡터공간이고 함수 <math>f:V \rightarrow \mathbb{R}</math>가 다음을 모두 만족할 때, > 복소수체 <math>F</math>의 임의의 원소 <math>a</math>와 벡터공간 <math>V</math>의 임의의 원소 <math>\bold{u}, \bold{v}</math>에 대하여 > 1. <math>f(a\bold{u}) = |a| \cdot f(\bold{u})</math> > 1. <math>f(\bold{u} + \bold{v}) \le f(\bold{u}) + f(\bold{v})</math>[* 흔히 '삼각부등식'이라고 부르는 놈.] > 1. 만약 <math>f(\bold{u})=0</math>이면 <math>\bold{u}</math>는 영벡터이다. 이 함수 <math>f</math>를 (V 위에서의) 노름(norm on V)라고 부른다. 이때, 노름을 나타내는 함수는 <math>f</math>보다는 <math>\left\| \cdot \right\|</math>로 표기하는 경우가 많다. 즉, <math>f(\bold{u}) = \left\| \bold{u} \right\|</math> 로 표기. 세가지 성질 중 1,2번만 만족하는 경우는 반노름(Semi norm)이라고 한다.

바나하 공간(Banach Space)

노름 공간 <math>V</math> 가 다음 조건을 만족할 때 이를 바나하 공간이라 한다.

> 완비성(Completeness) : 노음공간의 임의의 코시수열이 수렴한다.

성질

정의 문단의 3번에 의해, <math>f(\bold{0})=0</math>이고, 1번에 의해 <math>f(-\bold{u}) = f(\bold{u})</math>임을 --쉽게-- 알 수 있으므로,[* <math>a=-1</math>을 대입하면 된다.] 2번의 삼각부등식에 위 두 사실을 대입하면 <math>f(\bold{u}) \ge 0</math> 임을 유도할 수 있다.[* (증명) <math>\bold{u} = -\bold{v}</math>를 대입하면 좌변은 <math>f(\bold{0})</math>이 되고, 우변은 <math>f(-\bold{v}) + f(\bold{v})</math>가 되므로 <math> 0 \le 2 \cdot f(\bold{u})</math> ■ ]

예시

절댓값 노름

우리가 흔히 알고 있는 a의 절댓값 <math>|a|</math>은 1차원 유클리드 공간(=수직선)에서의 노름으로 볼 수 있다. 즉, <math>a \in \mathbb{R}</math>에 대하여, <math>|a| = \left\| a \right\|</math>이다.[* 어떻게 보면 노름은 절댓값의 개념을 확장시켰다고 볼 수도 있기 때문에 당연하다고 볼 수 있다.]

l^^p^^ 노름

p가 1이상일 때, > <math>\displaystyle \left\|\bold{x}\right\| = \sqrt[1/p]{|x_1|^p + |x_2|^p + \cdots + |x_n|^p} = \sqrt[1/p]{ \sum_{k=1}^{n} |x_k|^p }</math>

유클리드 노름

n차원 유클리드 공간(=좌표평면)에서의 노름은 유클리드 노름(Euclidean norm)이라고 부르고 다음과 같이 정의한다. > <math>\displaystyle \left\|\bold{x}\right\| = \sqrt{{x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_n}^2} = \sqrt{ \sum_{k=1}^{n} {x_k}^2 }</math> l^^p^^ 노름에서 p=2의 꼴이다. 어디서 많이 본 듯한 모양이라면 정답이다. 평면좌표(n=2)나 공간좌표(n=3)에서 원점과 점 <math>\bold{x} = \left( x_1, x_2, \cdots, x_n \right)</math> 사이의 거리이다. 이 노름에서 유도되는 거리 함수가 유클리드 공간에서 일반적으로 정해지는 거리 함수이며, 유클리드 거리 함수(Euclidean Metric Function)라고 칭한다. 옛 문헌에는 피타고라스 거리 함수(Pythagorean Metric Function)라고 표기된 문헌도 존재하지만 지금은 사장된 표현.

택시 노름

Taxicab norm. 다른 이름은 맨허튼 노름(Manhattan norm)으로, 다음과 같이 정의한다. > <math>\left\|\bold{x}\right\| = |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| = \sum_{k=1}^{n} {|x_k|}</math> l^^p^^ 노름에서 p=1의 꼴이다. 덧붙여 설명하자면, (0, 0)에서 (1, 1)까지 움직이고 싶을 때 대각선으로 가로질러 가는 거리 유클리드 노름으로 계산하지만, 만약에 그 사이에 밑면의 한 변의 크기가 1인 정사각형 모양의 빌딩이 있고 田자 모양의 도로망이 있을 때에는 ㄱ자 형태로 가로 1, 세로 1만큼, 총 2의 거리를 가야 한다. 이 거리를 계산하는 방법이 택시 노름이다. 맨허튼의 도로 구조가 위와 같이 격자 모양에 가까워 다른 이름이 맨허튼 노름인 것. 당연히 여기서 유도되는 거리함수 이름은 택시 거리 함수(Taxicab Metric Function) / 맨해튼 거리 함수(Manhattan Metric Function)이다.

상한 노름

l^^p^^ 노름에서 p를 무한대로 보내면 얻는 노름으로 > <math>\left\|\bold{x}\right\| = max(|x_1|, |x_2|, \cdots, |x_n|) </math> 즉 주어진 성분 중 최대값을 노름으로 삼는 방식이다. 상한 거리 함수, 혹은 최대 거리 함수(Max Metric Function)가 이 노름에서 정의된다.

내적을 이용한 정의

노름으로 거리함수를 정의할 수 있듯이 내적이 정의되었다면 노름을 정의할 수 있다. 자신과의 내적에 제곱근을 씌우는 것. 자신과의 내적은 0 이상의 실수가 되도록 내적이 정의되기 때문. 복소수에서의 내적도 복소수에서의 노름을 정의하기 위해 에르미트 내적이라는 과정을 거치면 실수가 나오게 된다.

[각주] [include(틀:문서 가져옴,title=놈,version=47)] 분류:해석학(수학)분류:대수학